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第136章 三次丢番图方程的一种特殊解法（第3页）

所以，所有人的目光又转向了徐志远。

徐志远也有些茫然。

老实说，这个答案他也记不住，三个八十多位的正整数，他也没有去记住的必要。

但他很快反应过来，这个家伙既然能说出这些数字，说明，他真的算出来了？

这怎么可能？

徐志远很怀疑，因为他也算不出来，这个答案，他是通过计算机算出来的，这个计算量已经超出了人脑的极限。

但他认识这个学生，陈辉！

他听过一些这位CMO满分选手的事迹，包括燕北大学那场研讨会。

或许，他真的能够算出来？！

徐志远忽然有些期待。

如果他真能不利用计算机就算出来，那么，这个方法是否能够推广到一般的情况，用来求解这一类丢番图方程呢？

如果能的话，那这将是一个振奋人心的成果！

不过很快他就为自己这个想法感到可笑，他竟然试图让一个高中生去发明一种三次丢番图方程的特殊解法。

“可以给大家讲解一下你的求解方法吗？”

虽然不抱希望，徐志远还是决定听听陈辉的思路。

“我也是受到刚才那位同学的启发。”

陈辉看向刚才举手的那位同学，他也有些兴奋，不管任何时候，解出一道难题总是会让人感到兴奋，充满成就感。

所以他不介意跟大家分享他的解题思路，“我们可以很轻易的找到一组有理数特解，a=-1，b=1，c=0，有了有理数特解，就说明我们要求的这个方程实际上是一个椭圆曲线！”

“？”

那位被陈辉目光注视的同学满脸茫然，眼神中透露出清澈的愚蠢，“我有这样想过吗？”

“哦，这里的椭圆曲线是指域上亏格为1的光滑射影曲线。对于特征不等于2的域，它的仿射方程可以写成y^2=x^3+ax^2+bx+c，复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面，莫德尔证明了整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群，这是著名的BSD猜想的前提条件，阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广……”

考虑到教室里的都只是参加IMO的高中生，而不是当时在燕北大学的教授们，陈辉特地解释了一句。

但他不解释还好，这一解释，教室中茫然的小眼神就更多了。

“说得就像你解释了我们就能听得懂一样！”不少人暗暗腹诽。

陈辉却没有注意到同学们的反应，眼中神采奕奕，仿佛有无数数字和符号在跳动，“有了这个共识后，接下来我们可以将这个椭圆曲线转化成威尔斯特拉斯形式，也就是y^2=x^3+109x^2+224x。”

“对了，这里一定有同学会疑惑，原方程不是有三个未知数吗？怎么到这里就只有两个未知数了？”

“因为这个方程是齐次的，这意味着如果（a，b，c）是方程的一个特解的话，那（7a，7b，7c）也是它的解，这意味着这个方程看上去像是三维的，但它实际上只有两维。

在几何中，它对应着一个面，一个三元方程一般定义一个两维的面，一般来说，k个n元方程定义一个d维的流形，d=n-k，这个面是由一条过原点的线旋转形成的，可以通过截取的单平面来理解，所以由此也可以得知，这是一条射影曲线。”

陈辉似乎真的很想让同学们能够听懂，能够学到知识，尽量让自己讲得通俗易懂，甚至为了让自己的过程更加清晰明了，他还走出座位，来到讲台，拿起粉笔在黑板上划出了这条椭圆曲线的示意图。

“如图，右边的‘鱼尾’连续延伸至正负无穷，左边的封闭椭圆曲线就是我们解决问题的契机，给定这个方程的任意解（x，y），我们都可以通过变换，还原出所求的a，b，c，这样我们就构造出了一个双有理数等价。”

讲到这里，教室里已经99%的同学都开始犯晕，只有邓乐岩、王潇等寥寥几个人还能勉强跟上。

但他们此时也已经皱起了眉头。

因为椭圆曲线问题本身就是个庞然大物，看似已经做了很多事情，但问题似乎并没有得到解决。

徐志远则是饶有兴致的看向陈辉，如果说之前他还认为陈辉不可能解决这个问题，但现在，他觉得，这小子或许还真的找到了些诀窍。

“再回到构造出来的椭圆曲线，我们可以容易再上面找到一个很好的有理数点，x=100，y=260，这并不是正整数解，但不要着急，接下来我们利用弦切技巧进行加法，生成其它的有理数点。”

“通过作P点的切线，找到它和曲线再次相交的点，以此增加P点的值，得到2P=（883625，-950716125），这样我们可以得到a，b，c的一组新解，但显然，他们依旧不是正整数解。

但没关系，我们继续迭代，计算3P、4P，一直计算到9P，最后我们就能得到a，b，c的正整数解了！”

说完，陈辉扔下粉笔，笑着说道，“计算稍微复杂了点，但整体思路还是很简单的！”

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